Limite réelle d'une fonction réelle

Soit f, une fonction de R dans R, a, b∈R.
On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a, ou encore que b est la limite de f(x) lorsque x tend vers a, et l'on écrit

    "defnslim_1.gif"

si les conditions suivantes sont satisfaites :

1) a ∈ adh dom f
2) (∀ ε > 0) (∃ δ > 0) (∀ x ∈ dom f: |x-a| ≤ δ) : |f(x) - b| ≤ ε

Unicité de la limite

Il existe au plus un b ∈ R vérifiant les conditions de la limite

Supposons qu'il existe b et b' ∈ R vérifiant les conditions de la limite
Dès lors, ∀ ε > 0,

"defnslim_2.gif"
et
"defnslim_3.gif"

Si on pose δ" = min{δ , δ '} alors pour tout x ∈ dom f tel que |x - a| ≤ δ", on aura

"defnslim_4.gif"

Définition équivalente

Soit f, une fonction de R dans R, a, b∈R.
On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a, ou encore que b est la limite de f(x) lorsque x tend vers a, et l'on écrit

    "defnslim_5.gif"

si les conditions suivantes sont satisfaites :

1) a ∈ adh dom f
2) (∀ ε > 0) (∃ δ > 0) (∀ x ∈ dom f: |x-a| < δ) : |f(x) - b| < ε

Condition de Cauchy

Soit f, une fonction de R dans R, a∈adh dom f.
Si  "defnslim_6.gif" existe, alors la condition suivante est satisfaite

(∀ ε > 0) (∃ δ > 0) (∀ x ∈ dom f: |x-a| ≤ δ)(∀ x' ∈ dom f: |x'-a| ≤ δ) : |f(x) - f(x')| ≤ ε

Soit  "defnslim_7.gif"R
Dès lors,
"defnslim_8.gif" et "defnslim_9.gif"
et on a
"defnslim_10.gif"

Par contraposition, cet énoncé nous donne une condition de non existence de la limite

Soit f, une fonction de R dans R, a∈adh dom f.
Si
(∃ ε > 0) (∀ δ > 0) (∃ x ∈ dom f: |x-a| ≤ δ)(∃ x' ∈ dom f: |x'-a| ≤ δ) : |f(x) - f(x')| > ε

alors "defnslim_11.gif" n'existe pas.

Exemple 1

"defnslim_12.gif"

"defnslim_13.gif"

Exemple 2

"defnslim_14.gif"

"defnslim_15.gif"

Limite sur dom f\{a}

La limite ayant peu d'intérêt lorsque a est un point isolé du domaine, elle est parfois définie comme suit:

Soit f, une fonction de R dans R, a, b∈R.
On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a, ou encore que b est la limite de f(x) lorsque x tend vers a, et l'on écrit

    "defnslim_16.gif"

si les conditions suivantes sont satisfaites :

1) a ∈ adh dom f \{a}
2) (∀ ε > 0) (∃ δ > 0) (∀ x ∈ dom f\{a}: |x-a| ≤ δ) : |f(x) - b| ≤ ε

Avec cette définition, la limite de l'exemple 2 existe.

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